Kennlinie & Empfindlichkeit

Jede einzelne der Komponenten führt die an ihr anliegenden Eingangssignal in Ausgangssignale über. Wie diese Überführung genau aussieht beschreibt die sogenannte Kennlinie, die für jede Komponente unterschiedlich aussehen kann. In Abb. 22 ist beispielhaft eine lineare, ideale Kennlinie dargestellt.

Abb. 22 Ideale Messkennlinie.

Statische Kenngrößen

Für jede Eingangsgröße \(u\) wird anhand der Kennlinie eine Ausgangsgröße \(y\) definiert. Beispielsweise wird anhand der Kennlinie eines Temperatursensors ein bestimmter Temperaturwert in eine Spannung umgewandelt.

• Der Bereich, indem der Sensor beispielsweise noch korrekt arbeitet (meist vom Hersteller garantiert) wird Messbereich (engl. range) genannt und wird durch den minimal und maximal möglichen Wert, der noch als Eingang angelegt werden kann oder darf, angegeben. Im Falle eines Temperatursensors wäre ein typischer Messbereich z.B. -40°C bis 120°C.

• Die Differenz zwischen diesen Maximal- und Minimalwert nennt man Spanne (engl. span) (bezogen auf unser Beispiel also 160°C).

• Die Spanne ist mit einem Bereich auf der y-Achse korreliert, nämlich dem sogenannten Vollbereichssignal (engl. full scale output = FSO).

• Der Übertragungsfaktor \(k\) oder auch oft Verstärkung genannt beschreibt die Überführung des Eingangssignals der Messeinrichtung, also der Messgröße, in ein Ausgangssignal:

\[y = k \cdot u\]

• Die Statische Kennlinie ist im Prinzip der Übertragungsfaktor, aber dieses Mal definiert für alle möglichen Eingangssignale.

\[y(u) = k \cdot u\]

Empfindlichkeit

Die Kennlinie sollte immer eine gewisse Steigung aufweisen. Oder man könnte auch sagen, dass wenn sich die Eingangsgröße \(u\) ändert, dass dies auch immer eine Änderung in der Ausgangsgröße \(y\) mit sich ziehen sollte. Im Falle einer Verstärkungseinheit könnte diese Änderung sogar vergrößert werden und das System reagiert somit empfindlicher auf Änderungen der Eingangsgröße. Mathematisch betrachtet bedeutet die Steilheit nichts anderes als die Steigung bzw. die Ableitung der Ausgangsgröße \(y(u)\) an einer bestimmten Stelle \(u\):

\[S(u) = \frac{\partial y(u)}{\partial u} = \frac{\partial f(u)}{\partial u}\]

Dies wird auch die Empfindlichkeit \(S(u)\) genannt und entspricht der Tangente im Punkt \(u\). Bei einer Messeinrichtung mit linearer Kennlinie sind die Empfindlichkeit \(S\) und die Übertragungsfunktion \(k\) demzufolge identisch.

Kennlinienbeispiele

Widerstandsthermometer

Reine Metalle sind Kaltleiter. Platin hat beispielsweise einen Widerstandswert von R0 = R(0) = 100 Ohm bei 0 °C, daher der Name PT100. Sie können bei geeigneter Ausrüstung bis 850 °C eingesetzt werden. Sie haben eine fast lineare Kennlinie bei einer relativen Widerstandsänderung von knapp 0,4 % pro °C:

\[R(T) = R_0 \cdot (1 + AT + BT^2)\]

Folgende Parameter gelten für bestimmte Temperaturbereiche:

• 0-850°C: A= 3,9e-3/°C, B=-5,7e-7/°C\(^2\)

• -200-0°C: C = -4,2e-1/°C\(^4\)

Thermistoren mit negativen Temperaturkoeffizienten (NTC = Negative thermal coefficient , Heißleiter) weisen aufgrund des zugrundeliegenden Halbleiter-Effektes eine hohe Abhängigkeit von Fehlstellen, wie der Dotierung der Grundstoffe auf. Heißleiter sind bis etwa 150 °C einsetzbar. Sie weisen gegenüber Platin-Messwiderständen eine deutlich höhere Empfindlichkeit auf:

\[ R(T)=R_{25} \cdot \mathrm e^{B\left(\frac{1}{T+273}-\frac{1}{298}\right)}\]

mit R25 = 1000 Ohm und B = 3528.

Ein Transition Edge Sensor (TES), bzw. auf deutsch Phasenübergangsthermometer, ist ein supraleitender Temperatursensor, der in der Lage ist, kleinste Temperaturänderungen im Bereich von wenigen 100 \(\mu\mathrm K\) zu messen. Seine Umgebungstemperatur wird je nach Material auf wenige mK runtergekühlt, um das Material in einen supraleitenden Zustand (d.h. sein Widerstand verschwindet) zu bringen. Dies ist die sogenannte kritische Temperatur, \(T_c\), aber der Materiale supraleitende Eigenschaften aufweisen. Der Widerstand wird über Anlegen einer Stromstärke minimal aufgeheizt, sodass sein Arbeitspunkt in den Übergang (die steile Flanke) geschoben wird. An diesem Punkt ist die Ableitung, und somit die Empfindlichkeit, maximal.

\[ R(T)= \frac{a}{1 + \mathrm e^{-k(T-T_c)}} \]

mit z.B. \(k\) = 1.86/mK, \(a\) = 0.224 Ohm und \(T_c\) = 103.2 mK

#Benötigte Libraries:
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import plotly.offline as py
py.init_notebook_mode(connected=True)
import plotly.graph_objs as go
import plotly.tools as tls
import seaborn as sns
import time
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')

# MatplotLib Settings:
plt.style.use('default') # Matplotlib Style wählen
#plt.xkcd()
plt.rcParams['font.size'] = 10; # Schriftgröße

#--------- Kaltleiter PT100 -------------
T_PT = np.linspace(0, 800, num=800)
def R_PT(T_PT):
    R_0 = 100 # in Ohm
    A = 3.93e-3 # in 1/°C
    B = -5.7e-7 # in 1/^C^2
    return R_0 * (1 + A*T_PT + B * T_PT**2)

#--------- Heißleiter NTC -------------
T_NTC = np.linspace(0+273.15, 120+273.15, num=50)
def R_NTC(T_NTC, B):
    R_25 = 1000 # in Ohm
    T_25 = 25.0 + 273.15 # in Kelvin
    return R_25 * np.exp(B * (1/(T_NTC) - 1/T_25))

#--------- Transition Edge Sensor -------------
T = np.linspace(94, 106, num=50)
def R(T):
    k = 1.86 # in 1/mK
    a = 0.01 # in Ohm
    Tk = 100 # in mK
    return a / (1+ np.exp(-k * (T-Tk)))


#--------- Diagramme -------------
f, axs = plt.subplots(1,3,figsize=(10,3))

axs[0].plot(T_PT,R_PT(T_PT), color = 'tab:blue')
axs[0].set_xlabel('T/°C')
axs[0].set_ylabel(r'R/$\Omega$')
axs[0].set_title('Kaltleiter PT100')

axs[1].plot(T_NTC-273.15,R_NTC(T_NTC, 2000)/1000, label = "B = 2000K", color = 'tab:blue')
axs[1].plot(T_NTC-273.15,R_NTC(T_NTC, 4000)/1000, label = "B = 4000K", color = 'tab:red')
axs[1].plot(T_NTC-273.15,R_NTC(T_NTC, 6000)/1000, label = "B = 6000K", color = 'tab:orange')
axs[1].set_xlabel('T/°C')
axs[1].set_ylabel(r'R/k$\Omega$')
axs[1].set_title('Heißleiter NTC')
axs[1].legend()

axs[2].plot(T,R(T)*1000, color = 'tab:blue')
axs[2].set_xlabel('T/mK')
axs[2].set_ylabel(r'R/m$\Omega$')
axs[2].set_title('Transition Edge Sensor')

plt.tight_layout()
plt.show()

Laserinterferometer

Michelson - Interferometer, Aufbau und Messung | Physik - Experimente & Formeln - Matthias Kohl

Laserinterferometer sind extrem empfindliche Messinstrumente und in modernen Messaufbauten fast immer vorhanden, wenn Längenänderungen, Geschwindikeiten oder Beschleunigungen gemessen werden soll. In einem Interferometer werden Längen durch die Messung von Phasenverschiebungen von zwei interferierenden elektromagnetischen Wellen (Laser) bestimmt. Die Phasenverschiebung ist direkt mit der Weglängendifferenz zwischen den beiden Wellen verbunden.

Abb. 23 Laserinterferometer.

Um eine Längenmessung durchzuführen, benötigen wir die Information über die Wellenlänge des verwendeten Lichts, da die Phasenverschiebung und die Wellenlänge in einer festen Beziehung stehen. Die allgemeine Beziehung ist:

\[ 2 \cdot \Delta L = \left( \frac{\Delta \phi}{2\pi} \right) \cdot \lambda \]

wo:

• \(\Delta L\) ist die Weglängendifferenz,

• \( \Delta \phi\) ist die Phasenverschiebung in Radiant,

• \( \lambda \) ist die Wellenlänge des Lichts.

Der Faktor 2 resultiert daraus, dass in Interferometern der Laserstrahl reflektiert wird und somit die Weglängendifferenz 2x durchläuft. Dies erhöht die Auflösung der Messung um den Faktor 2.

Wenn wir die Phasenverschiebung und die Wellenlänge kennen, können wir die Weglängendifferenz berechnen, die einer Längenänderung entspricht. Im Kontext eines Interferometers wird diese Längenänderung durch die Bewegung eines Spiegels oder eines anderen Objekts erzeugt, das den optischen Pfad des Lichts beeinflusst. Durch die Messung der Phasenverschiebung und die Kenntnis der Wellenlänge können wir daher die Längenänderung präzise bestimmen.

Die Kennlinie eines einfachen Interferometers ist besonders, sie zeigt nämlich eine periodische Funktion: Die Ausgangsintensität variiert sinusförmig mit der Phasenverschiebung.

\[ I(x,t) = E_0^2 \cdot (1 + \cos(\Delta \phi)) \]

Das heißt Längenänderungsmessungen können über die Änderung der Intensität gemessen werden. Je stärker die Intensität variiert, desto größe war die Längenänderung.

Herleitung der interferometerischen Intensität

Die Ableitung der Intensitätsformel aus den elektrischen Feldern der beiden interferierenden Wellen erfordert einige algebraische Schritte. Hier ist die Herleitung:

Die elektrischen Felder der beiden Wellen entlang der beiden Interferometerarme sind gegeben durch:

\[ E_1(x,t) = E_0 \cdot \cos(kx - \omega t + \phi_1) \]

\[ E_2(x,t) = E_0 \cdot \cos(kx - \omega t + \phi_2) \]

Hierbei ist:

• \(E_0\) die Amplitude des elektrischen Feldes,

• \(k\) die Wellenzahl (\(k = \frac{2\pi}{\lambda}\), wobei \(\lambda\) die Wellenlänge ist),

• \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit \((\omega = 2\pi f\), wobei \(f\) die Frequenz ist),

• \(\phi_1\) und \(\phi_2\) sind die Phasen der beiden Wellen,

• \(x\) ist der Ort entlang der Ausbreitungsrichtung,

• \(t\) ist die Zeit.

Die Summe dieser beiden Felder ergibt das resultierende elektrische Feld \( E \):

\[ E(x,t)= E_1(x,t) + E_2(x,t) = E_0 \cdot \cos(kx - \omega t + \phi_1) + E_0 \cdot \cos(kx - \omega t + \phi_2) \]

Die Intensität \(I\) des resultierenden Feldes ist proportional zum Quadrat des Betrags des elektrischen Feldes:

\[\begin{align*} I(x,t) &= |E(x,t)|^2 = |E_0 \cdot \cos(kx - \omega t + \phi_1) + E_0 \cdot \cos(kx - \omega t + \phi_2)|^2\\ &= ... = E_^2 \cdot (1 + \cos(\Delta \phi)) \end{align*}\]

Die resultierende Gleichung zeigt die Intensität der Interferenz in Abhängigkeit von der Phasendifferenz zwischen den beiden Wellen.

Die Empfindlichkeit des Interferometers – also seine Fähigkeit, kleine Änderungen zu detektieren – ist an den Wendepunkten der sinusförmigen Kurve am höchsten (Ableitung maximal). An den Extrempunkten ist die Empfindlichkeit null, da hier kleine Änderungen der Phasenverschiebung keine Änderung im Ausgangssignal bewirken (Ableitung verschwindet).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.widgets import Slider
from matplotlib.animation import FuncAnimation
from IPython.display import HTML


# Initialisierung des Plots und der Achsen
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4))
fig.subplots_adjust(left=0.25, bottom=0.25)  # Adjust the spacing

# Berechnung der Intensität in Abhängigkeit von der Phasenverschiebung
def calculate_interferometer_signal(phase_difference):
    intensity = 0.5*(1+np.cos(phase_difference / 2.0))
    return intensity



# Aktualisierungsfunktion für den Slider
def update(val):
    phase_difference = np.linspace(0, 8 * np.pi, 1000)

    intensity = calculate_interferometer_signal(phase_difference+val)
    
    ax.plot(phase_difference, calculate_interferometer_signal(phase_difference), color='tab:blue', lw=4, alpha=0.5, label='in Ruhe')
    ax.plot(phase_difference, intensity, color='tab:red', label='Bewegung =%5.2f rad =%5.2f $\mu$m (Wellenlänge = 1$\mu$m)'%(val, (val)/(4*np.pi)))
    # Set plot labels and legend
    #ax.set_title('Analog zeitdiskret: Abgetastete Sinuswelle')
    ax.set_xlabel('Phasenverschiebung (rad)')
    ax.set_ylabel('Intensität')
    ax.set_ylim([0, 1])
    ax.set_xlim([0,8 * np.pi])
    ax.grid(True)
    ax.legend(loc='lower left')



# Funktion zur Aktualisierung der Animation
def animate(val):
    ax.clear()
    update(val)

# Create an animation by varying reflectivity from 0.01 to 0.99 with a step of 0.01
ani = FuncAnimation(fig, animate, frames=np.arange(0.0, 3*np.pi, 0.1), repeat=False)

# Anzeigen der Animation
plt.tight_layout()
plt.close()
HTML(ani.to_jshtml())

Once Loop Reflect

Laserinterferometer mit optischen Resonatoren

Die Empfindlichkeit von Interferometern kann durch den Einsatz von optischen Resonatoren stark verbessert werden. Mittels zusätzlichen Spiegeln werden die Anzahl der Reflektionen für die Längenmessung zusätzlich erhöhen. Die optischen Resonatoren “speichern” das Licht, indem sie es zwischen zwei Spiegeln hin und her reflektieren, wodurch die effektive Weglänge des Lichts verlängert wird. Dies erhöht die Empfindlichkeit des Interferometers für Messungen der Längenänderung.

Abb. 24 Laserinterferometer mit optischen Resonator.

Der Einfluss der Phasenänderung auf die Intensität kann durch die Finesse des Resonators und die Eigenschaften des verwendeten Lichts beeinflusst werden. Die Grundgleichung für die Intensität der Lichtwelle in einem Fabry-Perot-Resonator (eine Art von optischem Resonator) in Abhängigkeit von der Phasenänderung ist:

\[ I(\Delta\phi) = I_0 \cdot \frac{1}{1 + F \cdot \sin^2(\Delta\phi/2)} \]

wo:

• \(I(\phi)\) ist die Intensität des Lichts im Resonator,

• \(I_0\) ist die Intensität des einfallenden Lichts,

• \(\mathcal F\) ist die Finesse des Resonators,

• \(\Delta\phi\) ist die Phasenänderung.

In dieser Gleichung ist die Finesse (\(\mathcal F\)) ein Maß für die “Schärfe” der Resonanz des Resonators und wird oft durch die Formel

\[ \mathcal F = \frac{\pi \sqrt{R}}{1 - R} \]

ausgedrückt, wobei \(R\) die Reflektivität der Spiegel ist.

Die Gleichung zeigt, dass die Intensität im Resonator maximiert wird, wenn die Phasenänderung ein Vielfaches von \(2\pi\) ist, was bedeutet, dass die Bedingungen für konstruktive Interferenz erfüllt sind. Umgekehrt wird die Intensität minimiert, wenn die Phasenänderung ein ungerades Vielfaches von \(\pi\) ist, was die Bedingungen für destruktive Interferenz erfüllt.

Die Breite der Resonanzspitzen und die Tiefe der Resonanztäler werden durch die Finesse des Resonators beeinflusst. Ein Resonator mit hoher Finesse wird schmalere Resonanzspitzen und tiefere Resonanztäler aufweisen, d.h. die Kennlinie wird steiler, was einer höheren Empfindlichkeit entspricht.

Eine kleine Bewegung der Spiegel kann nun eine drastische Änderung in der Intensität verursachen, was die Messung von sehr kleinen Signalen, wie den von Gravitationswellen verursachten, ermöglicht. Im nachfolgenden Diagramm ist dargestellt, wie sich die Kennlinie in der Anwesenheit von optischen Resonatoren in Abhängigkeit von der Spiegelreflektivität \(R\) in einem Interferometer ändert.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
from IPython.display import HTML
plt.rcParams['font.size'] = 13; # Schriftgröße


# Initialize the figure and axis
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4))


# Funktion zur Berechnung der Intensität in Abhängigkeit von der Phasenverschiebung
def calculate_intensity(reflectivity, phase_difference):
    finesse = np.pi * reflectivity / (1 - reflectivity)
    intensity = 1 / (1 + finesse * np.sin(phase_difference / 2.0)**2)
    return intensity

# Funktion zum Aktualisieren der Grafik
def update(reflectivity):
    x = np.linspace(0, 6 * np.pi, 1000)  # Phasenverschiebung von 0 bis 6*pi
    phase_difference = x
    intensity = calculate_intensity(reflectivity, phase_difference)
    
    ax.plot(phase_difference, calculate_intensity(0.9, phase_difference), color='tab:blue', lw=4, alpha=0.5, label='Resonator Reflektivität: R = 0.9')
    ax.plot(phase_difference, intensity, color='tab:red', label='Resonator Reflektivität: R =%5.2f'%(reflectivity))
    # Set plot labels and legend
    #ax.set_title('Analog zeitdiskret: Abgetastete Sinuswelle')
    ax.set_xlabel('Phasenverschiebung (rad)')
    ax.set_ylabel('Intensität')
    ax.set_ylim([0, 1])
    ax.grid(True)
    ax.legend(loc='upper right')


# Funktion zur Aktualisierung der Animation
def animate(reflectivity):
    ax.clear()
    update(reflectivity)

# Create an animation by varying reflectivity from 0.01 to 0.99 with a step of 0.01
ani = FuncAnimation(fig, animate, frames=np.arange(0.01, 0.999, 0.01), repeat=False)

# Anzeigen der Animation
plt.tight_layout()
plt.close()
HTML(ani.to_jshtml())

Once Loop Reflect

Man erkennt allerdings auch den Nachteil von sehr hohen Empfindlichkeiten: Der Messbereich wird sehr klein. Sollte sich die Länge nun sehr stark ändern, so kann dies von diesem Messinstrument nicht mehr aufgelöst werden. Anders ausgedrückt: Das Laserinterferometer an sich muss extrem ruhig sein und kein Spiegel darf sich bewegen. Deswegen werden in Gravitationswellendetektoren, die auf diesem Messprinzip beruhen, alle Spiegel mit Kontrollschleifen an ihrem optimalen Arbeitspunkt gehalten.

How does LIGO work?? Working Principles of LIGO l LIGO technology l LIGO in science (englisch, TIP Knowledge)

Gravitationswellen sind besonders faszinierend, da wir durch ihre Detektion kosmolgische Objekte aufspüren können, die wir mit anderen Teleskopen nicht wahrnehmen können, da sie kein Licht aussenden. Hauptmotivation ist hierbei die Detektion von Schwarzen Löchern, die sich umeinander rum bewegen. Aufgrund ihrer gegenseitigen Gravitationskraft vollziehen sie diesen Tanz und verändern dabei die Raumzeit. Um euch ein Bild davon zu machen: Die stärkste bisher gemessene Gravitationswelle hat die 4 km langen Arme von LIGO um nur etwa \(\Delta L = 10^{-19}\,\mathrm m\) verändert. Daraus können wir direkt auf die Stärke dieses astronomischen Ereignisses schließen. Die Gravitationswelle hat die uns umgebende Raumzeit um

\[h = \frac{dL}{L} \approx 5\cdot 10^{-22}\]

verändert. Nimmt man den Abstand von Erde und Sonne (150 000 000 km), würde sich dieser beim Einfall einer Gravitationswellen um weniger als einen Atomdurchmesser ändern:

h = 1e-22
d_Erde_Sonne = 150e9 # Abstand Erde Sonne in m
dL_Erde_Sonne = d_Erde_Sonne * h
print('Abstandsänderung Erde-Sonne verursacht durch Gravitationswelle: ')
print(dL_Erde_Sonne, ' = ',dL_Erde_Sonne*1e12, 'pm')

Abstandsänderung Erde-Sonne verursacht durch Gravitationswelle: 
1.5e-11  =  15.0 pm

Die Größe eines Atoms beträgt um die 100 pm = 1 A (Angstrom = 10 \(^{-10}\)).

Die Technologie hinter LIGO und anderen Gravitationswellendetektoren wie VIRGO und KAGRA ist ein faszinierendes Beispiel dafür, wie fortschrittliche Messtechnik und hohe Präzision es uns ermöglichen, die fundamentalen Aspekte unseres Universums zu erforschen und besser zu verstehen.